Codeforces 1030E – Vasya and Good Sequences (前后缀和+DP)

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题意

给你$n$个数,每个数可以任意改变二进制中1的位置,问你有多少区间$[l,r]$满足操作后异或和为0。

题解

这题真是太妙了!(直接看题解的屑)

首先贪心,计算出二进制表示中1的个数$b_i$。计算出$b_i$的后缀和,那么对于某一个区间,可以$O(1)$计算出这个区间内1的个数的和。

满足条件的区间需要具备两个条件:

  • 1的个数之和为偶数
  • 1的个数最多的那个数的1的个数小于其他数1的个数的和(贪心)

那么只要穷举所有的$l$,$r > l+64$且后缀和奇偶性相同的一定满足(因为那个最大的数最多也就64位),其他的暴力判断一下就可以了。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n = 0, ans = 0;
ll oddCnt = 0, evenCnt = 0;
ll s[300005] = {};
bool sumEven[300005] = {};

ll bitCnt(ll ori) {
  ll cnt = 0;
  while (ori) {
    cnt += ori & 1;
    ori >>= 1;
  }
  return cnt;
}

int main() {
  cin >> n;
  for (ll i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> s[i];
    s[i] = bitCnt(s[i]);
  }

  ll sum = 0;
  oddCnt = 0, evenCnt = 1, sumEven[n] = true;
  for (ll i = n - 1; i >= 0; --i) {
    sum += s[i];
    if (sum & 1) {
      ans += oddCnt;
      oddCnt++;
    } else {
      ans += evenCnt;
      sumEven[i] = true;
      evenCnt++;
    }
  }

  for (ll i = 0; i < n; ++i) {
    ll sumx = 0, maxi = 0;
    for (ll j = i; j < min(n, i + 64LL); ++j) {
      if (s[j] > maxi) {
        sumx += maxi;
        maxi = s[j];
      } else {
        sumx += s[j];
      }
      if (sumx < maxi && sumEven[i] == sumEven[j + 1]) {
        ans--;
      }
    }
  }

  cout << ans;
  return 0;
}

GCC Magic

看了出题人大佬的题解才知道GCC有一个魔法函数__builtin_popcountll(unsigned)。其功能是计算无符号数的二进制表达式中1的个数。这个函数使用了分块查表的方法,跑得非常快!

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